שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · מאתגרת
מהנדס בונה מסגרת תמיכה תלת-ממדית משולשת (כגון תמיכה למגדל תקשורת), שקודקודיה A, B, C נמצאים בשלוש נקודות שרירותיות במרחב. כדי למקם עמוד תמיכה אנכי בנקודת שיווי המשקל האופטימלית של המסגרת, עליו לאתר את הנקודה שבה נפגשים שלושת התיכונים של המשולש (הקטעים המחברים כל קודקוד לאמצע הצלע שמולו) — נקודה זו נקראת מרכז הכובד (הצנטרואיד) של המשולש.
א.יהיו a, b, c וקטורי המקום (ביחס לראשית שרירותית O) של הקודקודים A, B, C בהתאמה. הביעו, באמצעות a, b, c, את וקטור המקום של Ma — אמצע הצלע BC (הצלע שמול הקודקוד A).
5 נק׳ב.הגדירו את הנקודה G על ידי וקטור המקום g=(a+b+c)/3. הוכיחו כי G נמצאת על התיכון AMa, וכי AG=(2/3)·AMa — כלומר ש-G מחלקת את התיכון AMa ביחס 2:1 מהקודקוד A.
8 נק׳ג.נמקו — ללא צורך לחזור על כל החישוב — מדוע אותו נימוק בדיוק (מסעיף ב', בהחלפת a,b,c במחזור מתאים) מוכיח כי G נמצאת גם על התיכון BMb ביחס BG:GMb=2:1, וגם על התיכון CMc ביחס CG:GMc=2:1 (כאשר Mb אמצע AC ו-Mc אמצע AB). מהי המסקנה לגבי שלושת התיכונים?
7 נק׳ד.להמחשה מספרית, נתונים הקודקודים A(2,1,3), B(6,5,−1), C(1,0,4) (וקטורי מקום ביחס לראשית O). מצאו את קואורדינטות G.
5 נק׳ה.אמתו במפורש, עבור המשולש המספרי הזה, כי AG=(2/3)AMa — מצאו את Ma, את הווקטורים AMa ו-AG, וודאו את היחס, ללא הסתמכות על ההוכחה הכללית של סעיף ב'.
8 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.