שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · מאתגרת
אדריכל מתכנן גג פירמידאלי (פירמידה ישרה) מעל אוהל תצוגה שבסיסו משולש שווה-צלעות ABC, שאורך כל צלע בו 6 מטרים. קודקוד הגג E נמצא ישירות מעל הנקודה O — מרכז המעגל החוסם את הבסיס (שהיא, במקרה של משולש שווה-צלעות, גם מרכז הכובד שלו) — בגובה OE=3 מטרים.
א.מצאו את אורך התיכון במשולש ABC, והשתמשו ביחס 2:1 שבו מרכז הכובד מחלק כל תיכון כדי למצוא את המרחק OA (ממרכז O לקודקוד A).
6 נק׳ב.מצאו את אורך הצלע הצדדית EA (באמצעות משפט פיתגורס במשולש EOA), ומצאו את tanθ, כאשר θ היא הזווית שבין הצלע הצדדית EA לבין מישור הבסיס (השאירו את התשובה בצורה מדויקת).
6 נק׳ג.מצאו, באמצעות משפט הקוסינוסים במשולש EAB (שבו EA=EB=√21 ו-AB=6, לפי סימטריית הפירמידה), את קוסינוס הזווית AEB (הזווית בקודקוד E, בין שתי הצלעות הצדדיות הסמוכות EA ו-EB).
7 נק׳ד.כדי למדוד את הזווית בין שתי הפאות הצדדיות הסמוכות EAB ו-EBC (הנפגשות לאורך הצלע המשותפת EB), יש להוריד מהקודקוד A אנך לישר EB (בתוך פאה EAB), ומהקודקוד C אנך לאותו ישר EB (בתוך פאה EBC). הוכיחו כי לשני האנכים הללו יש בדיוק את אותה נקודת מפגש K על הישר EB.
7 נק׳ה.באמצעות התוצאה מסעיף ד' (ותוצאות סעיפים ב'-ג'), מצאו את קוסינוס הזווית הדו-פאתית בין הפאות EAB ו-EBC לאורך הצלע המשותפת EB.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.