שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · ברמת הבחינה
מעצבת חזיתות בוחנת קובייה שקופה ABCD-EFGH (בסיס תחתון ABCD, בסיס עליון EFGH, כאשר E מעל A, F מעל B, G מעל C, H מעל D בהתאמה), המשמשת כאלמנט עיצובי בחזית מבנה. היא מעוניינת לחשב את הזווית בין שני אלכסוני-פאה של הקובייה שאינם נפגשים באף קודקוד משותף: אלכסון הבסיס התחתון AC ואלכסון הפאה הימנית BG.
א.הניחו כי אורך צלע הקובייה הוא 6 ס"מ, ומקמו אותה במערכת צירים כך ש-A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), E(0,0,6), F(6,0,6), G(6,6,6), H(0,6,6). רשמו את הווקטורים AC ו-BG כווקטורי קואורדינטות, וציינו מדוע לשני האלכסונים הללו אין אף קודקוד משותף.
5 נק׳ב.מכיוון ש-AC ו-BG אינם נפגשים, כדי למצוא את הזווית ביניהם יש "להזיז" (להעתיק במקביל) את אחד מהם עד שיתחיל באותה נקודה כמו השני. רשמו את הווקטור AH (מ-A ל-H) כווקטור קואורדינטות, והראו כי AH שווה בדיוק לווקטור BG — כלומר ש-AH הוא בדיוק ההעתק המקבילי של BG המתחיל בנקודה A.
6 נק׳ג.מכיוון ש-AC ו-AH יוצאים כעת מאותה נקודה A, חשבו באמצעות מכפלה סקלרית את הזווית θ ביניהם — וזוהי, לפי סעיף ב', גם הזווית בין AC לבין BG.
8 נק׳ד.הוכיחו כי התוצאה θ=60° אינה תלויה באורך צלע הקובייה — כלומר חזרו על החישוב עבור קובייה כללית שאורך צלעה a (a>0 כלשהו), והראו כי מתקבל תמיד cos θ = ½.
8 נק׳ה.תלמיד טוען: "מכיוון ש-AC ו-BG אינם נחתכים ואינם מקבילים, אין כלל זווית מוגדרת ביניהם." האם צדק? נמקו, תוך התבססות על השיטה שהופעלה בסעיפים ב'-ג'.
6 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.