שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · מאתגרת
מהנדסת למידת-מכונה בוחנת פונקציית הפעלה "חלקה" (softplus) המשמשת ברשת נוירונים כתחליף חלק לפונקציות מדרגה, המתוארת על ידי f(x) = ln(eˣ+1).
א.הוכיחו כי f מוגדרת עבור כל x ממשי (כלומר שהביטוי eˣ+1 חיובי תמיד).
5 נק׳ב.מצאו את f'(x) ופשטו אותה לצורה f'(x)=eˣ/(eˣ+1). הוכיחו כי f עולה ממש בכל תחום הגדרתה, וכי אין לה נקודות קיצון כלל.
7 נק׳ג.מצאו את lim(x→−∞) f(x), וקבעו איזו אסימפטוטה יש לגרף f בכיוון x→−∞.
6 נק׳ד.הוכיחו כי lim(x→∞) [f(x) − x] = 0, והסבירו מדוע עובדה זו אומרת שהישר y=x הוא אסימפטוטה (משופעת) של גרף f כש-x→∞ — למרות ש-f(x) עצמה שואפת לאינסוף שם (ואין לגרף אסימפטוטה אופקית בכיוון זה).
8 נק׳ה.הוכיחו כי לכל x ממשי מתקיים בו-זמנית f(x) > 0 וגם f(x) > x (כלומר f(x) > מקסימום{x,0} לכל x) — ומכאן שגרף f נמצא תמיד ממש מעל שתי האסימפטוטות (y=0 ו-y=x), ואינו נוגע באף אחת מהן בשום נקודה סופית.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.