שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · קלה יחסית
מהנדסת אקוסטיקה מודדת רעש במפעל באמצעות מדד לוגריתמי L, המוגדר על ידי הנוסחה L(I) = ln(I/I₀), כאשר I עוצמת הרעש הנמדדת (ביחידות פיזיקליות מתאימות) ו-I₀ הוא עוצמת ייחוס קבועה (סף שמיעה).
א.בדיקה מסוימת העלתה כי עוצמת הרעש הנמדדת היא I = e⁴·I₀ (פי e⁴ מעוצמת הייחוס). מצאו את ערך המדד L במקרה זה.
5 נק׳ב.במדידה אחרת התקבל L=6. מצאו את עוצמת הרעש I (ביחס ל-I₀) המתאימה למדידה זו.
5 נק׳ג.נניח כי עוצמת הרעש גדלה פי k (k>0 קבוע כלשהו), כלומר I_חדש = k·I_ישן. הוכיחו כי השינוי במדד, ΔL=L_חדש−L_ישן, שווה תמיד ל-ln k — ללא תלות בעוצמת הרעש ההתחלתית I_ישן. יישמו את התוצאה עבור k=3.
8 נק׳ד.הסיקו מסעיף ג' (במקרה הפרטי k=2) מדוע הכפלת עוצמת הרעש פי 2 מוסיפה למדד L תמיד בדיוק את אותו קבוע ln2 — ללא תלות בעוצמת ההתחלתית. נמקו מדוע עובדה זו הופכת את מדד L ל"מדד יחסי" (הפרשים במדד תלויים רק ביחס, לא בערכים המוחלטים).
7 נק׳ה.עוצמת רעש מתחילה מערך כלשהו (עם מדד התחלתי L₀), ועוברת n הכפלות רצופות (כל פעם פי 2). הראו — באמצעות הכללה של סעיף ד' — כי המדד לאחר n ההכפלות הוא L_n=L₀+n·ln2. חשבו קירוב מספרי (לפי ln2≈0.693) לתוספת הכוללת למדד לאחר n=10 הכפלות.
8 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.