שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · מאתגרת
מהנדס בונה פיגום זמני בצורת מקבילון (גוף שכל פאותיו מקביליות) ABCD-A'B'C'D', כאשר הבסיס התחתון ABCD הוא מקבילית, הבסיס העליון A'B'C'D' הוא מקבילית חופפת ומקבילה לו (A' מעל A, B' מעל B, C' מעל C, D' מעל D בהתאמה), וצלעות הפיגום הצדדיות (כגון AA') מקבילות זו לזו. כדי לבסס עמוד תמיכה מרכזי בדיוק במרכז המקבילון, המהנדס רוצה להוכיח כי שני האלכסונים המרחביים AC' ו-BD' חוצים זה את זה.
א.נסמנו a=AA', b=AB, d=AD (שלושת וקטורי הצלעות היוצאות מהקודקוד A). הביעו, באמצעות a, b, d, את הווקטורים AC (אלכסון הבסיס התחתון) ו-AC' (האלכסון המרחבי מ-A ל-C'). נמקו את הביטויים באמצעות תכונות המקבילית והמקבילון.
6 נק׳ב.הביעו, באמצעות a, b, d, את הקודקודים B' ו-D' (כווקטורי מקום ביחס לנקודה A), ולאחר מכן את הווקטור BD' (מ-B ל-D').
6 נק׳ג.מצאו, באמצעות תוצאת סעיף א', את וקטור המקום (ביחס ל-A) של אמצע הקטע AC'. מצאו, באמצעות תוצאת סעיף ב', את וקטור המקום (ביחס ל-A) של אמצע הקטע BD'.
7 נק׳ד.הוכיחו, בהסתמך על סעיף ג' בלבד, כי האלכסונים AC' ו-BD' חוצים זה את זה.
7 נק׳ה.להמחשה מספרית, הציבו a=(0,0,5), b=(4,0,0), d=(0,3,0) (מקרה פרטי: תיבה ישרה). מצאו את הקואורדינטות של A, C', B, D', וודאו במפורש כי אמצע AC' ואמצע BD' הם אותה נקודה בדיוק — בהתאמה מלאה להוכחה הכללית בסעיף ד'.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.