שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · ברמת הבחינה
מהנדסת רובוטיקה בוחנת זרוע רובוטית מסתובבת סביב ציר קבוע. קצה הזרוע — הנקודה P — מיוצג במישור גאוס על ידי מספר מרוכב, כאשר מרכז הסיבוב הוא הראשית. במיקום ההתחלתי, P מיוצגת על ידי המספר המרוכב z₁ = 4 (כלומר הנקודה (4,0)). סיבוב הזרוע בזווית θ סביב הראשית מתואר, במודל המתמטי, על ידי הכפלת המספר המרוכב המייצג את P במספר cis θ = cos θ + i·sin θ.
א.מצאו את z₂ — המספר המרוכב המייצג את מיקום קצה הזרוע לאחר סיבוב של z₁ בזווית 60°, בהצגה קרטזית (מהצורה a+bi). השתמשו בהכפלה ב-cis60°.
5 נק׳ב.חשבו את |z₁| ואת |z₂| ישירות מהצגתם הקרטזית, והראו כי הם שווים.
5 נק׳ג.הוכיחו באופן כללי (לא רק במקרה הפרטי של סעיף ב') כי לכל מספר מרוכב z=x+yi ולכל זווית θ, מתקיים |z·cis θ| = |z| — כלומר שהכפלה ב-cis θ (סיבוב סביב הראשית) שומרת תמיד על המודול (המרחק מהראשית).
8 נק׳ד.בזמן מאוחר יותר נמדד מיקום קצה הזרוע ונמצא שווה למספר המרוכב z₃ = −2√3 + 2i. מצאו את הזווית φ (כאשר 0°≤φ<360°) שבה סיבבו את z₁ כדי לקבל את z₃, כלומר מצאו φ כך ש-z₃ = z₁·cis φ.
8 נק׳ה.נניח שהחל מהמיקום z₃, הזרוע ממשיכה להסתובב בצעדים נוספים של 60° בכל פעם (כמו בסעיף א'). האם קיים מספר שלם וחיובי n של צעדים נוספים כאלה שלאחריהם קצה הזרוע P יחזור בדיוק למיקום ההתחלתי z₁? נמקו את תשובתכם.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.