שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · מאתגרת
מהנדס מבנים מתכנן תושבת פלדה משולשת (bracket) התומכת בקורת גג בפינת מחסן. התושבת היא פירמידה משולשת (טטרהדרון) DABC, שבה שלוש הצלעות הנפגשות בקודקוד D — הצלע לאורך הרצפה, הצלע לאורך קיר אחד, והצלע לאורך הקיר השני — מאונכות זו לזו, שכן D ממוקם בדיוק בפינה שבה נפגשים הרצפה ושני הקירות בזוויות ישרות. במערכת צירים שמקורה ב-D וצירי הקואורדינטות שלה לאורך שלוש הצלעות הללו (יחידות: מטרים): D(0,0,0), A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,3). הפאה ABC היא הפאה החיצונית הגלויה של התושבת.
א.רשמו את הווקטורים DA, DB ו-DC כווקטורי קואורדינטות. הוכיחו, באמצעות מכפלה סקלרית, כי שלוש הצלעות הנפגשות ב-D מאונכות זו לזו בזוגות (DA⊥DB, DA⊥DC, DB⊥DC).
5 נק׳ב.רשמו כווקטורי קואורדינטות את AB (הצלע המשותפת לפאות DAB ו-ABC), את AD (מהקודקוד A לקודקוד D) ואת AC (מהקודקוד A לקודקוד C).
5 נק׳ג.כדי למדוד את הזווית בין הפאה DAB לפאה ABC דרך הצלע המשותפת AB, יש להקים בכל פאה וקטור המאונך ל-AB, שניהם יוצאים מאותה נקודה A. בפאה DAB, מצאו את הרכיב של AD המאונך ל-AB — כלומר את הווקטור u = AD − [(AD·AB)/|AB|²]·AB (החיסור של ההיטל של AD על AB מתוך AD עצמו). באופן דומה, בפאה ABC מצאו את הרכיב של AC המאונך ל-AB, כלומר את הווקטור v.
8 נק׳ד.נמקו מדוע הזווית בין u ל-v (מסעיף ג') שווה בדיוק לזווית שבין הפאה DAB לפאה ABC. לאחר מכן חשבו, באמצעות מכפלה סקלרית, את קוסינוס הזווית γ בין הפאות.
8 נק׳ה.הוכיחו כי הצלע DC מאונכת למישור הפאה DAB (תוך שימוש בתוצאת סעיף א'), ומצאו את נפח התושבת (הטטרהדרון DABC).
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.