שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · קלה יחסית
מהנדסת אלקטרוניקה בוחנת אות תקופתי במעגל דיגיטלי. ארבעת מצבי הפאזה האפשריים של האות מתוארים כפתרונות המספרים המרוכבים z של המשוואה z⁴ = −16.
א.רשמו את המספר −16 בהצגה קוטבית (טריגונומטרית), ומצאו את המודול (הגודל) המשותף לכל אחד מפתרונות המשוואה z⁴=−16.
6 נק׳ב.מצאו את ארבעת הפתרונות של המשוואה z⁴=−16, באמצעות משפט דה-מואבר להוצאת שורשים, ורשמו כל אחד מהם בהצגה קרטזית (מהצורה a+bi).
7 נק׳ג.תארו במילים את מיקום ארבעת הפתרונות במישור גאוס: על איזה מעגל הם נמצאים, ומהי הזווית בין כל שני פתרונות סמוכים (לפי סדר הזוויות)?
6 נק׳ד.הוכיחו כי ארבעת הפתרונות הם קודקודי ריבוע (ולא רק מרובע כלשהו) — חשבו את אורכי ארבע הצלעות ואת אורכי שני האלכסונים של המרובע z₀z₁z₂z₃.
7 נק׳ה.הוכיחו כי סכום ארבעת הפתרונות שווה 0, וקשרו את התוצאה לנוסחת וייטה עבור המשוואה z⁴+16=0.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.