שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · קלה יחסית
כלכלן בוחן את הפונקציה y=ln x כמודל לתועלת השולית של מוצר, ואת המשיק לגרף שלה בנקודה x=1, כדי להעריך את הפער בין המודל הליניארי (המשיק) לבין המודל המדויק (הפונקציה הלוגריתמית) על פני טווח x שונים.
א.מצאו את משוואת המשיק לגרף y=ln x בנקודה x=1.
5 נק׳ב.הוכיחו, באמצעות בדיקת סימן הנגזרת השנייה, כי גרף y=ln x קעור כלפי מטה בכל תחום הגדרתו (x>0), והסיקו מכך כי מתקיים אי-השוויון ln x ≤ x−1 לכל x>0 (עם שוויון רק ב-x=1).
7 נק׳ג.חשבו את השטח המדויק הכלוא בין גרף y=ln x לבין המשיק y=x−1 בתחום 1≤x≤e (תוך שימוש בתוצאת סעיף ב', לפיה x−1≥ln x בתחום זה).
7 נק׳ד.הגדירו A(b) = ∫₁ᵇ [(x−1)−ln x] dx עבור b>1 (השטח הכלוא בתחום [1,b]). הוכיחו, באמצעות המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי ותוצאת סעיף ב', כי A(b) פונקציה עולה ממש עבור b>1 — כלומר שהשטח הכלוא גדל ללא הפסקה ככל שמתרחקים מנקודת ההשקה.
7 נק׳ה.חשבו את השטח המדויק הכלוא בין הגרף למשיק בתחום ½≤x≤1 (בצד השני של נקודת ההשקה), תוך שימוש באותה פונקציה קדומה מסעיף ג'.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.