שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · ברמת הבחינה
מהנדס תקשורת ימית ממקם שני משדרי סונאר קבועים בים, בנקודות A ו-B, לצורך איתור צוללות. במערכת צירים שמקורה בתחנת חוף קבועה (יחידות: ק"מ), מיקומי המשדרים הם A(0,0) ו-B(6,0). צוללת הנעה באזור מתוכנתת לשמור על תנאי כיול קבוע: בכל רגע נתון, המרחק בין הצוללת P למשדר A שווה בדיוק למחצית המרחק בינה לבין משדר B.
א.רשמו את תנאי הכיול PA = ½PB באמצעות נוסחת המרחק, ופתחו את המשוואה. הראו כי המקום הגאומטרי של הצוללת P הוא מעגל, ומצאו את מרכזו ורדיוסו.
6 נק׳ב.נתונה הנקודה Q(0, 2√3). הראו כי Q נמצאת על המקום הגאומטרי (המעגל) שמצאתם בסעיף א', ולאחר מכן ודאו ישירות (ללא שימוש במשוואת המעגל) כי מתקיים QA=½QB, כנדרש בתנאי הכיול המקורי.
6 נק׳ג.מצאו, באמצעות גזירה סתומה של משוואת המעגל (x+2)²+y²=16, את משוואת המשיק למעגל בנקודה Q(0,2√3).
7 נק׳ד.הוכיחו כי הקטע המחבר את מרכז המעגל M(−2,0) לנקודה Q מאונך למשיק שמצאתם בסעיף ג' (תכונה ידועה של מעגלים: הרדיוס בנקודת ההשקה מאונך למשיק שם).
7 נק׳ה.הוכיחו באופן כללי כי עבור כל שתי נקודות קבועות A(0,0) ו-B(d,0) (d>0) וכל יחס קבוע k>0 (k≠1), המקום הגאומטרי של הנקודות P המקיימות PA=k·PB הוא תמיד מעגל שמרכזו נמצא על הישר AB (ציר ה-x). ודאו כי הצבת d=6 ו-k=½ בנוסחה הכללית שתקבלו נותנת בדיוק את משוואת המעגל מסעיף א'.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.