שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · ברמת הבחינה
רשת חנויות בוחנת אסטרטגיית תמחור למוצר חדש. מספר היחידות הצפוי להימכר בחודש, כפונקציה של מחיר המכירה p (בשקלים ליחידה, p≥0), מתואר על ידי מודל הביקוש N(p) = 400·e בחזקת (−p/20). ההכנסה החודשית הצפויה ממכירת המוצר היא R(p) = p·N(p).
א.רשמו את הנוסחה המפורשת של R(p), וציינו את תחום ההגדרה הרלוונטי של p במודל זה.
5 נק׳ב.מצאו את R'(p) באמצעות כלל המכפלה, ופשטו אותה לצורה מכונסת (עם גורם משותף).
7 נק׳ג.מצאו את מחיר המכירה p המביא להכנסה חודשית מרבית, והוכיחו — באמצעות בדיקת סימן R' — כי זו אכן נקודת מקסימום גלובלית של R בתחום p≥0.
7 נק׳ד.מצאו את ההכנסה החודשית המרבית המדויקת (בביטוי מדויק עם e), וחשבו קירוב מספרי שלה (עגלו לשקל הקרוב, לפי e≈2.718).
7 נק׳ה.מנהל הרשת מציע: "נעלה את המחיר ל-40 ש"ח — כך נכפיל את ההכנסה החודשית לעומת p=20." האם המנהל צודק? חשבו את היחס המדויק R(40)/R(20) (ללא קירובים עשרוניים) והוכיחו כי הוא קטן מ-1 (כלומר שההכנסה למעשה יורדת ולא מוכפלת).
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.