שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · קלה יחסית
כמות חומר תרופתי בזרם הדם, כפונקציה של הזמן x (בשעות ממתן המנה — ניתן להניח במודל המתמטי גם ערכי x שליליים, לצורך הניתוח המתמטי המלא של הפונקציה), מתוארת על ידי הפונקציה f(x) = x²·e⁻ˣ.
א.מצאו את f'(x) (תוך שימוש בכלל המכפלה), ומצאו את שתי נקודות הקיצון האפשריות של f (פתרו f'(x)=0).
6 נק׳ב.קבעו, באמצעות בדיקת סימן f', את סוג כל אחת משתי נקודות הקיצון (מינימום/מקסימום מקומי), ומצאו את ערכי f בנקודות אלה.
7 נק׳ג.מצאו את f''(x), ומצאו את שתי נקודות הפיתול של הגרף (הביעו את שיעורי ה-x שלהן באמצעות נוסחת השורשים).
8 נק׳ד.מצאו את הגבולות lim(x→∞) f(x) ו-lim(x→−∞) f(x), וקבעו אילו אסימפטוטות (אם בכלל) יש לגרף f בכל אחד מהכיוונים.
6 נק׳ה.תלמיד טוען: "מכיוון שבסעיף ב' מצאנו כי בנקודה x=2 יש לפונקציה מקסימום מקומי בערך f(2)=4/e², הרי שזהו גם הערך המקסימלי ביותר שהפונקציה f יכולה לקבל בכל תחום הגדרתה." האם הטענה נכונה? הוכיחו את תשובתכם באמצעות סעיף ד'.
6 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.