שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · ברמת הבחינה
בניתוח מודל צמיחה כלכלי, פונקציה f(x) = eˣ − kx מתארת את הפער (ביחידות מתאימות) בין שני מסלולי צמיחה חלופיים, כפונקציה של הזמן x, כאשר k פרמטר המייצג קצב צמיחה ליניארי מתחרה. בודקים את הפונקציה עבור כל ערכי x הממשיים, ועבור כל ערך ממשי של הפרמטר k.
א.מצאו את f'(x). הוכיחו כי במקרה k≤0 מתקיים f'(x)>0 לכל x — כלומר ש-f עולה ממש בכל הישר הממשי, ואין לה כלל נקודות קיצון.
6 נק׳ב.הוכיחו כי במקרה k>0 יש בדיוק נקודת קיצון אחת לפונקציה, מצאו אותה (בהצגה מדויקת עם ln), וקבעו — באמצעות בדיקת סימן f' — כי מדובר בנקודת מינימום.
6 נק׳ג.מצאו ביטוי מדויק לערך המינימום f(ln k) (עבור k>0). מצאו את תחום הערכים של k (k>0) שעבורו ערך המינימום חיובי, את התחום שבו הוא שלילי, ואת הערך המדויק של k (ערך הסף) שעבורו ערך המינימום הוא אפס בדיוק.
7 נק׳ד.מצאו את lim(x→−∞) f(x) ו-lim(x→∞) f(x) עבור k>0 (שניהם), והוכיחו — בהתבסס על סעיף ג' וצורת הגרף — כי מספר הפתרונות של המשוואה eˣ=kx (כלומר f(x)=0) הוא: אין פתרונות עבור 0<k<e; פתרון יחיד עבור k=e; שני פתרונות עבור k>e.
7 נק׳ה.השלימו את התמונה עבור k≤0: הוכיחו, באמצעות סעיף א' וגבולות מתאימים, כי עבור k<0 יש בדיוק פתרון אחד למשוואה eˣ=kx, ואילו עבור k=0 אין אף פתרון.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.