שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · ברמת הבחינה
אדריכל מתכנן אולם אירועים אליפסי המנצל את תופעת ה"לחישה": קול הנפלט בנקודה אחת (מוקד) נשמע בבירור בנקודה שנייה (המוקד השני), הודות לתכונה הגאומטרית של האליפסה שלפיה סכום המרחקים מכל נקודה על קיר האולם לשני המוקדים קבוע. תוכנית האולם ממוקמת במערכת צירים כך שהמוקדים הם F₁(−4,0) ו-F₂(4,0) (יחידות: מטרים). האדריכל שרטט את קיר האולם בשיטת שני היתדות והחבל: חבל שאורכו 10 מטרים, שקצותיו קשורים לשני היתדות (הממוקמים במוקדים), הודק בעזרת עיפרון שנגרר לאורך הקיר — כך שסכום המרחקים מכל נקודה על הקיר לשני המוקדים שווה תמיד לאורך החבל. משוואת קיר האולם (האליפסה) היא מהצורה x²/a² + y²/b² = 1.
א.מצאו את ערכי a ו-b, ורשמו את משוואת האליפסה.
5 נק׳ב.מצאו את קודקודי האליפסה (על שני הצירים), ואת האקסצנטריות (המרוכזות) e שלה.
5 נק׳ג.נתונה הנקודה M(3, 12/5). הראו כי M נמצאת על האליפסה, ומצאו את משוואת המשיק לאליפסה בנקודה זו.
8 נק׳ד.הוכיחו, באמצעות נוסחת המרחק, כי סכום המרחקים מהנקודה M לשני המוקדים F₁ ו-F₂ שווה בדיוק ל-10 (כפי שמצופה מהגדרת האליפסה, שהרי M על הקיר).
6 נק׳ה.הוכיחו כי עבור כל נקודה P(x,y) הנמצאת על האליפסה, המרחק מ-P למוקד הימני F₂(4,0) נתון על ידי הביטוי 5 − (4/5)x (כלומר a − ex, כאשר e האקסצנטריות שמצאתם בסעיף ב').
9 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.