שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · קלה יחסית
כביש עוקף מתוכנן מתואר במפה כקטע ישר. גבול שמורת טבע סמוכה מתואר, במערכת הצירים של המפה (יחידות: ק"מ), על ידי הפרבולה y²=4x (קודקודה בראשית הצירים, ציר הסימטריה שלה הוא ציר ה-x). הכביש המתוכנן מתואר על ידי הישר y=x+m, כאשר m פרמטר התלוי במיקום המדויק שייבחר לכביש.
א.הציבו את משוואת הישר y=x+m במשוואת הפרבולה y²=4x, וארגנו את התוצאה כמשוואה ריבועית ב-x. חשבו את הדיסקרימיננטה Δ של המשוואה הריבועית שהתקבלה, כפונקציה של m.
5 נק׳ב.מצאו את הערך היחיד של m שעבורו הכביש (הישר) משיק לגבול השמורה (הפרבולה), ומצאו את קואורדינטות נקודת ההשקה.
7 נק׳ג.מצאו את תחום הערכים של m שעבורם הכביש חוצה את גבול השמורה בשתי נקודות שונות (הישר חותך את הפרבולה בשני מפגשים).
6 נק׳ד.מצאו את תחום הערכים של m שעבורם הכביש אינו נפגש כלל עם גבול השמורה, ונמקו את קביעתכם באמצעות סימן הדיסקרימיננטה.
7 נק׳ה.הוכיחו, באמצעות גזירה סתומה של משוואת הפרבולה ומציאת שיפוע המשיק בנקודה (1,2), כי משוואת המשיק לפרבולה בנקודה זו היא בדיוק הישר שמצאתם בסעיף ב' (כלומר y=x+1).
8 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.