שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · מאתגרת
פסלת בונה יצירת אמנות מזכוכית בצורת קובייה שקופה ABCD-EFGH, שאורך כל צלע בה 6 ס"מ (בסיס תחתון ABCD, בסיס עליון EFGH, כאשר E מעל A, F מעל B, G מעל C, H מעל D בהתאמה). לצורך העיצוב היא חותכת את הקובייה במישור העובר דרך הצלע AB (השייכת לבסיס התחתון) ודרך הנקודה M — אמצע הצלע האנכית CG. הקובייה ממוקמת במערכת צירים כך ש-A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), E(0,0,6), F(6,0,6), G(6,6,6), H(0,6,6).
א.רשמו את קואורדינטות הנקודה M (אמצע הצלע CG), ואת הווקטורים AB ו-AM כווקטורי קואורדינטות.
4 נק׳ב.מצאו את משוואת המישור העובר דרך שלוש הנקודות A, B, M, בעזרת פתרון מערכת משוואות ליניארית (ניצוב המישור מהצורה ax+by+cz=d) — ללא שימוש במכפלה וקטורית.
6 נק׳ג.מצאו את הנקודה N שבה המישור y=2z חותך את הצלע DH, והראו כי N היא אמצע DH. זהו את מלוא צורת החתך (המרובע ABMN), והוכיחו כי הוא מלבן — חשבו את וקטורי ארבע הצלעות והראו שהם מקיימים AB∥MN, BM∥NA, וכי AB⊥BM.
9 נק׳ד.חשבו את שטח מלבן החתך ABMN, תוך שימוש באורכי הצלעות AB ו-BM שמצאתם בסעיף ג'.
6 נק׳ה.מצאו את הזווית שבין מישור החתך ABMN לבין מישור הבסיס ABCD, דרך הצלע המשותפת AB (הנמצאת בשני המישורים) — השתמשו בווקטור BC (בבסיס) ובווקטור BM (במישור החתך), שניהם מאונכים ל-AB ויוצאים מהנקודה B.
8 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.