שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · מאתגרת
בפתרון בעיה בהנדסת חשמל (חישוב תדר תהודה במעגל) התקבלה המשוואה הריבועית z² − 4z + 8 = 0, כאשר z מספר מרוכב.
א.פתרו את המשוואה הריבועית z² − 4z + 8 = 0 (באמצעות נוסחת השורשים), ורשמו את שני הפתרונות z₁, z₂ בהצגה קרטזית (מהצורה a+bi), כך ש-z₁ הוא הפתרון עם החלק המדומה החיובי.
6 נק׳ב.הראו כי z₂ הוא הצמוד המרוכב של z₁, והסבירו באופן כללי (בעזרת נוסחת השורשים) מדוע לכל משוואה ריבועית az²+bz+c=0 עם מקדמים ממשיים a,b,c ודיסקרימיננטה Δ=b²−4ac שלילית, שני הפתרונות הם תמיד זוג צמודים מרוכבים. נמקו את תשובתכם.
6 נק׳ג.הציגו את z₁ בהצגה קוטבית (טריגונומטרית).
7 נק׳ד.חשבו את המכפלה z₁·z₂ בשתי דרכים — (1) ישירות בהצגה הקרטזית, (2) באמצעות ההצגה הקוטבית (הכפלת גדלים וחיבור זוויות) — והראו כי שתי הדרכים מתאימות לתוצאה הצפויה לפי נוסחת ויֶיטה (מכפלת השורשים = c/a) עבור המשוואה המקורית.
7 נק׳ה.מצאו את המקום הגאומטרי של כל הנקודות z=x+iy במישור גאוס המקיימות |z−z₁| = |z−z₂| (כלומר, נקודות המרוחקות באותו מרחק משני השורשים), והראו כי מתקבל בדיוק ציר ה-x (ציר הממשיים).
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.