שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · קלה יחסית
כוס קפה חם מתקררת בחדר שטמפרטורתו קבועה ועומדת על 20 מעלות צלזיוס. לפי חוק הקירור, טמפרטורת הקפה כפונקציה של הזמן t (בדקות מרגע ההגשה) נתונה על ידי הנוסחה T(t) = 20 + 80·e בחזקת (−kt), כאשר k קבוע חיובי. ידוע כי טמפרטורת הקפה בהגשה (t=0) הייתה 100 מעלות, וכי לאחר 10 דקות טמפרטורת הקפה ירדה ל-60 מעלות.
א.מצאו את הערך המדויק של הקבוע k, תוך שימוש בנתון כי T(10)=60.
5 נק׳ב.מצאו את הטמפרטורה המדויקת של הקפה בזמן t=20 דקות, תוך שימוש חכם בתוצאת סעיף א' (רמז: בטאו את e בחזקת (−20k) באמצעות e בחזקת (−10k), ולא באמצעות חישוב k מחדש).
6 נק׳ג.מצאו את הזמן המדויק (בדקות) שבו טמפרטורת הקפה מגיעה בדיוק ל-25 מעלות.
7 נק׳ד.הוכיחו כי T(t) > 20 לכל t≥0 — כלומר שלפי המודל, טמפרטורת הקפה לעולם אינה מגיעה בפועל לטמפרטורת החדר (20 מעלות), אלא רק מתקרבת אליה.
8 נק׳ה.טכנאי טוען: "לאחר 50 דקות הקפה יגיע בדיוק לטמפרטורת החדר, 20 מעלות בדיוק." האם הטכנאי צדק? הסבירו תוך הסתמכות על סעיף ד', ומצאו את הטמפרטורה המדויקת (בדקות בשבר פשוט) בזמן t=50 להמחשה.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.