שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · ברמת הבחינה
רוקחת בוחנת תרופה חדשה. ריכוז התרופה בדם המטופל, כפונקציה של הזמן t (בשעות ממועד נטילת התרופה, t≥0), מתואר על ידי המודל c(t) = 100·(e בחזקת (−t) − e בחזקת (−3t)) (ריכוז ביחידות מ"ג/ליטר).
א.מצאו את c(0), והסבירו את משמעותו המעשית. מצאו גם את lim(t→∞) c(t), והסבירו את משמעותו.
5 נק׳ב.מצאו את c'(t), ופשטו את הביטוי לצורה מכונסת.
7 נק׳ג.מצאו את הזמן t (בהצגה מדויקת עם ln) שבו הריכוז מגיע לערכו המרבי, והוכיחו — באמצעות בדיקת סימן c' — כי אכן מדובר בנקודת מקסימום.
7 נק׳ד.מצאו את הריכוז המרבי המדויק c((ln3)/2), בהצגה מדויקת (מותר עם שורש).
7 נק׳ה.כעת בודקים מודל כללי יותר, שבו קבוע הסילוק השני הוא k (k>1) במקום 3: c(t) = 100·(e בחזקת (−t) − e בחזקת (−kt)). הוכיחו, באותה שיטה כמו בסעיף ג', כי זמן השיא הכללי הוא t(k) = ln(k)/(k−1), והוכיחו כי lim(k→∞) t(k) = 0.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.