שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · קלה יחסית
מהנדס אלקטרוניקה מנתח אות מחזורי המיוצג באמצעות פאזור (מספר מרוכב על מעגל היחידה) מהצורה cosθ+i·sinθ. הוא בוחן תופעה שבה העלאת הפאזור בחזקה שלישית מייצגת יצירת הרמוניה שלישית באות (רכיב בתדר הגדול פי 3 מהתדר המקורי), ורוצה לגזור נוסחה מפורשת המקשרת בין הרמוניית היסוד cosθ, sinθ לבין ההרמוניה השלישית cos3θ, sin3θ.
א.לפי משפט דה-מואבר, רשמו את (cosθ+i·sinθ)³ בצורה cos3θ+i·sin3θ.
4 נק׳ב.פתחו את (cosθ+i·sinθ)³ בדרך שנייה, עצמאית — בעזרת הבינום של ניוטון — וארגנו את התוצאה לצורה A+iB, כאשר A, B ביטויים ממשיים ב-cosθ, sinθ.
8 נק׳ג.השוו בין שני הביטויים שקיבלתם בסעיפים א' ו-ב' (החלק הממשי מול החלק הממשי, החלק המדומה מול החלק המדומה), והשתמשו בזהות sin²θ+cos²θ=1 כדי להוכיח את הנוסחאות: cos3θ=4cos³θ−3cosθ וגם sin3θ=3sinθ−4sin³θ.
8 נק׳ד.בדקו את שתי הנוסחאות שהוכחתם בסעיף ג' עבור θ=30° (השוואה מול cos90° ו-sin90° הידועים).
6 נק׳ה.נתון כי cosθ=1/3 (עבור θ מסוים). השתמשו בנוסחה שהוכחתם בסעיף ג' כדי למצוא את הערך המדויק של cos3θ, ללא צורך למצוא את הזווית θ עצמה.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.