שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · ברמת הבחינה
כלכלנית בוחנת שתי פונקציות המהוות הופכיות זו לזו: פונקציית עלות C(x)=eˣ ופונקציית התועלת U(x)=ln x. מכיוון שהגרפים של שתי הפונקציות ההופכיות הם שיקוף זה של זה ביחס לישר y=x, היא מבקשת לנצל את הקשר הגאומטרי הזה כדי לחשב את השטח שמתחת לגרף U(x)=ln x מבלי לבצע אינטגרציה בחלקים.
א.חשבו את השטח A₁ הכלוא בין גרף y=eˣ לבין ציר ה-x, בתחום 0≤x≤1.
5 נק׳ב.התבוננו במלבן שקודקודיו (0,0), (1,0), (1,e), (0,e) (שטחו 1·e=e). הסבירו כיצד גרף y=eˣ (בתחום 0≤x≤1) מחלק את המלבן הזה לשני חלקים — האזור מתחת לעקומה (ששטחו A₁ מסעיף א') והאזור מעליה (בתוך המלבן) — ומצאו את שטח האזור השני, A₂.
6 נק׳ג.האזור A₂ מוגבל על ידי ציר ה-y (x=0), הישר y=e, והעקומה y=eˣ, עבור y בין 1 ל-e. מכיוון שעל העקומה מתקיים x=ln y (ההופכית של y=eˣ), הראו כי A₂ שווה בדיוק לשטח הכלוא בין גרף y=ln x לבין ציר ה-x, בתחום 1≤x≤e — והסיקו את הערך המדויק של ∫₁ᵉln x dx, ללא כל אינטגרציה נוספת.
9 נק׳ד.אמתו את התוצאה של סעיף ג' בדרך ישירה: חשבו את ∫₁ᵉln x dx באמצעות הפונקציה הקדומה x·ln x−x.
6 נק׳ה.נסחו את העיקרון הכללי שהודגם בסעיפים א'-ד': עבור פונקציה f עולה ממש עם פונקציה הופכית f⁻¹, ועבור a>0, קיים קשר בין ∫₀ᵃf(x)dx לבין האינטגרל של f⁻¹(y)dy מ-y=f(0) עד y=f(a). רשמו את הקשר הכללי, והראו כי המקרה הפרטי f(x)=eˣ, a=1 (מהסעיפים הקודמים) אכן מקיים אותו.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.