שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · ברמת הבחינה
קברניט אחראי על ניתוב ספינות באזור ימי שבו מתוחם נתיב שיט בטוח, המתואר במערכת צירים (יחידות: ק"מ) על ידי משוואת האליפסה x²/25 + y²/16 = 1. שני מגדלורים קבועים, המשמשים לניווט רדיו (טריאנגולציה), ממוקמים במוקדי האליפסה F₁ ו-F₂. בכל רגע נתון, מיקום הספינה P על נתיב השיט מקיים את התכונה הגאומטרית של האליפסה: סכום מרחקיה משני המגדלורים קבוע.
א.מצאו את ערכי a, b, c של האליפסה, ואת קואורדינטות שני המגדלורים (מוקדי האליפסה) F₁ ו-F₂.
5 נק׳ב.בזמן מסוים נמדד כי מרחק הספינה P ממגדלור F₁ הוא PF₁=7 ק"מ. מצאו את PF₂ — מרחקה מהמגדלור השני — תוך שימוש בתכונת סכום המרחקים הקבוע של האליפסה.
5 נק׳ג.חשבו, באמצעות משפט הקוסינוסים במשולש PF₁F₂ (שאורכי צלעותיו PF₁=7, PF₂=3, F₁F₂=6), את cos(∠F₁PF₂) ואת sin(∠F₁PF₂), ולאחר מכן את שטח משולש המוקדים PF₁F₂.
8 נק׳ד.בדקו את תוצאת סעיף ג' בדרך אחרת: מצאו את שיעור ה-x של הנקודה P באמצעות נוסחת הרדיוס המוקדי PF₁=a+ex (כאשר e=c/a האקסצנטריות), מצאו את שיעור ה-y שלה מתוך משוואת האליפסה, וחשבו מחדש את שטח המשולש PF₁F₂ בעזרת נוסחת בסיס-גובה (הבסיס F₁F₂ מונח על ציר ה-x).
8 נק׳ה.הוכיחו כי שטח משולש המוקדים PF₁F₂ מקבל את ערכו המרבי כאשר הספינה P נמצאת באחד משני קצוות הציר המשני של האליפסה (כלומר P=(0,4) או P=(0,−4)), ומצאו את שטח המשולש המרבי הזה.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.