שאלון 35572פרק ב' — פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · ברמת הבחינה
מדען נתונים בוחן איבר החוזר על עצמו רבות בתורת האינפורמציה (מבוסס על "אנטרופיית שאנון"), המתואר על ידי הפונקציה f(x) = x·ln x, כאשר x מוגדרת בתחום המתמטי המורחב x>0.
א.רשמו את תחום ההגדרה של f, ומצאו את f'(x) באמצעות כלל המכפלה.
5 נק׳ב.מצאו את נקודת הקיצון של f (פתרו f'(x)=0), וקבעו — באמצעות בדיקת סימן f' — האם היא נקודת מינימום או מקסימום.
7 נק׳ג.מצאו את f''(x), והוכיחו כי גרף f קעור כלפי מעלה בכל תחום הגדרתו (x>0) — ומכאן שנקודת הקיצון מסעיף ב' היא מינימום גלובלי (לא רק מקומי) בכל התחום.
6 נק׳ד.הראו כי lim(x→0⁺) f(x) = 0 (כלומר, אף שה-ln x שואף ל−∞ כש-x→0⁺, המכפלה x·ln x דווקא שואפת ל-0). הסבירו את התוצאה באמצעות ההצבה x=e בחזקת (−t) עבור t→∞.
7 נק׳ה.מצאו את כל הערכים של x שעבורם f(x)=0, ותארו במילים סקיצה מלאה של גרף f בתחום x>0, בהתבסס על תוצאות סעיפים ב', ג', ד' (התנהגות ליד x=0, ירידה ועלייה, קעירות, וחיתוך עם ציר ה-x).
8 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.