שאלון 35571פרק ג' — גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור22 נקודות · מאתגרת
בפארק חדש מתכננים שביל ישר המחבר את הפינה A של חלקת דשא משולשת ABC אל נקודת האמצע M של הצלע הנגדית BC — שביל זה הוא התיכון (median) היוצא מהקודקוד A. אורכי הצלעות היוצאות מ-A הם AB=c ו-AC=b, ואורך הצלע הנגדית הוא BC=a.
א.הוכיחו כי במשולש כלשהו ABC, כאשר M אמצע הצלע BC ו-mₐ=AM הוא אורך התיכון מקודקוד A, מתקיים תמיד mₐ²=(2b²+2c²−a²)/4. (הדרכה: סמנו ב-θ את הזווית ∠AMB, שימו לב כי ∠AMC=180°−θ, והשתמשו במשפט הקוסינוסים בכל אחד משני המשולשים AMB ו-AMC.)
6 נק׳ב.נתון משולש ABC שבו AB=c=2k, AC=b=3k (k>0 פרמטר), והזווית A=120°. השתמשו במשפט הקוסינוסים כדי לבטא באמצעות k את אורך הצלע BC=a.
5 נק׳ג.השתמשו בנוסחת התיכון שהוכחתם בסעיף א' ובתוצאה מסעיף ב', ובטאו באמצעות k, בצורה הפשוטה ביותר, את אורך התיכון mₐ=AM.
5 נק׳ד.נתון כי אורך השביל המתוכנן (התיכון AM) הוא 3√7 מטר. מצאו את ערך הפרמטר k, ולאחר מכן חשבו את שטח חלקת הדשא המשולשת ABC.
6 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.