שאלון 35571פרק ב' — אינדוקצייה, סדרות והסתברות22 נקודות · ברמת הבחינה
במפעל, קו ייצור אורז יחידות מוצר בקופסאות שוות, שכל אחת מהן מכילה בדיוק 6 יחידות, ללא עודף. מנהל הייצור טוען כי בכל יום שבו מיוצרות בדיוק 7ⁿ−1 יחידות מוצר (כאשר n הוא מספר טבעי כלשהו — למשל מספר סבבי הייצור שבוצעו באותו יום), ניתן תמיד לארוז את כל היחידות בקופסאות של 6 בדיוק, בלי יחידות עודפות.
א.הוכיחו את בסיס האינדוקציה: הראו כי הטענה "6 מחלק את 7ⁿ−1" מתקיימת עבור n=1.
4 נק׳ב.נסחו את הנחת האינדוקציה עבור n=k, וקבעו במפורש מה יש להוכיח עבור n=k+1 כדי להשלים את צעד האינדוקציה.
4 נק׳ג.הוכיחו את צעד האינדוקציה: בהתבסס על הנחת האינדוקציה מסעיף ב', הראו כי 6 מחלק את 7^(k+1)−1.
9 נק׳ד.בהתבסס על ההוכחה, ובהינתן שביום מסוים בוצעו 3 סבבי ייצור (n=3) והתקבלו בדיוק 7³−1 יחידות מוצר, חשבו כמה קופסאות בנות 6 יחידות נדרשות כדי לארוז את כל היחידות בדיוק, ללא עודף.
5 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.