שאלון 35571פרק ב' — אינדוקצייה, סדרות והסתברות22 נקודות · ברמת הבחינה
בעל חנות מוכר כרטיסי הגרלה. ביום ה-n מתחילת המבצע (n מספר טבעי), סך ההכנסות שנצברו מתחילת המבצע ועד סוף אותו יום, במטבע אגורות, שווה בדיוק ל-10ⁿ−1 (המספר המורכב מ-n הספרות 9: עבור n=1 מתקבל 9, עבור n=2 מתקבל 99, עבור n=3 מתקבל 999, וכן הלאה). בעל החנות טוען שניתן תמיד לחלק סכום זה בדיוק לחבילות שוות בנות 9 אגורות כל אחת, ללא שום שארית.
א.הוכיחו את בסיס האינדוקציה: הראו כי הטענה "9 מחלק את 10ⁿ−1" מתקיימת עבור n=1.
4 נק׳ב.נסחו את הנחת האינדוקציה עבור n=k, וקבעו במפורש מה יש להוכיח עבור n=k+1 כדי להשלים את צעד האינדוקציה.
4 נק׳ג.הוכיחו את צעד האינדוקציה: בהתבסס על הנחת האינדוקציה מסעיף ב', הראו כי 9 מחלק את 10 בחזקת (k+1) פחות 1.
9 נק׳ד.בהתבסס על ההוכחה, ובהינתן שבתום היום הרביעי (n=4) נצברו בדיוק 10⁴−1 אגורות, חשבו כמה חבילות בנות 9 אגורות כל אחת נדרשות כדי לארוז את כל הסכום בדיוק, ללא שארית.
5 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.