שאלון 35571פרק ב' — אינדוקצייה, סדרות והסתברות22 נקודות · מאתגרת
בפארק שעשועים מפעילים משחק גלגל-מזל. דמי הכניסה למשחק הם 10 ₪. על פי נתונים היסטוריים: בהסתברות 0.5 המשתתף אינו זוכה בפרס כלשהו; בהסתברות 0.3 המשתתף זוכה בפרס קטן ששוויו 20 ₪; בהסתברות 0.2 המשתתף זוכה בפרס הגדול (הג'קפוט) ששוויו 100 ₪. מגדירים את המשתנה המקרי X כרווח הנקי של המפעילים מכל משחק בודד — דמי הכניסה שנגבו מהמשתתף, בניכוי שווי הפרס שחולק (אם חולק).
א.בנו את התפלגות ההסתברות של המשתנה המקרי X (רשמו את כל הערכים האפשריים של X ואת ההסתברות המתאימה לכל ערך), ואמתו כי סכום ההסתברויות שווה ל-1.
5 נק׳ב.חשבו את התוחלת E(X).
4 נק׳ג.הוכיחו באופן כללי כי לכל משתנה מקרי X (עם תוחלת סופית μ=E(X)) מתקיים Var(X)=E(X²)−[E(X)]². (התחילו מההגדרה Var(X)=E[(X−μ)²].) לאחר מכן, באמצעות הנוסחה שהוכחתם, חשבו את השונות Var(X) ואת סטיית התקן של X במשחק הנתון.
7 נק׳ד.החברה שוקלת אם להשאיר את דמי הכניסה על 10 ₪ או לשנותם. חשבו מהם דמי הכניסה המינימליים e הדרושים כדי שהתוחלת E(X) של רווח המפעילים תהיה לפחות 0 (נקודת איזון), כאשר מבנה הפרסים נשאר קבוע (20 ₪ ו-100 ₪), ונמקו בקצרה האם כדאי להמשיך להפעיל את המשחק בתנאים הנוכחיים (דמי כניסה 10 ₪).
6 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.