שאלון 35571פרק ג' — גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור22 נקודות · ברמת הבחינה
בכיכר עגולה בפארק ציבורי (מעגל) נבנים שני שבילים ישרים — מיתר AB ומיתר CD של המעגל — החוצים זה את זה בנקודה P הנמצאת בתוך המעגל (ולא על היקפו). סדר ארבע הנקודות לאורך היקף המעגל הוא A, C, B, D (בסדר זה סביב ההיקף, כך ששני המיתרים אכן נחתכים בפנים). שימו לב: בניגוד למקרה של שני חותכים היוצאים מנקודה מחוץ למעגל (שם נקודת החיתוך P נמצאת מחוץ למעגל), כאן P נמצאת בתוך המעגל — וזהו המקרה ה"פנימי" המקביל של משפט חזקת הנקודה.
א.נמקו — בעזרת משפט הזווית ההיקפית — מדוע ∠BAC=∠BDC, וציינו במפורש על איזו קשת נשענות שתי הזוויות הללו ומדוע קשת זו אינה מכילה לא את A ולא את D. הסיקו מכך כי ∠PAC=∠PDB (תוך שימוש בכך ש-P נמצאת על הקטע AB ועל הקטע CD).
5 נק׳ב.הראו כי ∠APC=∠DPB (זוויות קדקודיות), והוכיחו כי משולש APC דומה למשולש DPB. ציינו את התאמת הקודקודים.
6 נק׳ג.הסיקו מהדמיון בסעיף ב' את משפט חזקת הנקודה עבור מיתרים הנחתכים בתוך המעגל: PA·PB=PC·PD.
6 נק׳ד.נתון PA=4, PB=9, PC=6, AC=6. באמצעות משפט חזקת הנקודה שהוכחתם בסעיף ג', מצאו את PD. לאחר מכן, באמצעות יחס הדמיון מסעיף ב', מצאו את DB.
5 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.