שאלון 35571פרק ג' — גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור22 נקודות · ברמת הבחינה
מנקודה P מחוץ למעגל יוצאים שני ישרים החותכים את המעגל: הישר הראשון חותך את המעגל בנקודה A ולאחר מכן בנקודה B (הסדר על הישר הוא P, A, B — A קרובה יותר ל-P). הישר השני חותך את המעגל בנקודה C ולאחר מכן בנקודה D (הסדר על הישר הוא P, C, D — C קרובה יותר ל-P).
א.הוכיחו כי משולש PAC דומה למשולש PDB (התאמת קודקודים: P↔P, A↔D, C↔B).
6 נק׳ב.הסיקו מהדמיון בסעיף א' את משפט חזקת הנקודה עבור שני חותכים: PA·PB=PC·PD.
5 נק׳ג.נתון PA=3, AB=5 ו-PC=4. באמצעות משפט חזקת הנקודה שהוכחתם, מצאו את PD ואת CD.
6 נק׳ד.כעת נתון כי מהנקודה P יוצא גם קטע משיק למעגל, הנוגע בו בנקודה יחידה T. ידוע (כהכללה אנלוגית של היחס שהוכחתם עבור שני חותכים) כי מתקיים PT²=PA·PB. מצאו את אורך PT.
5 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.