שאלון 35571פרק ג' — גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור22 נקודות · ברמת הבחינה
בפארק ציבורי נמצאת בריכת נוי עגולה שרדיוסה 5 מטרים, מרכזה בנקודה O. מנקודה P מחוץ לבריכה, במרחק OP=13 מטר ממרכז הבריכה, יוצאים שני מסלולי טיול ישרים המשיקים למעגל הבריכה בנקודות A ו-B בהתאמה (כל מסלול הוא קטע ישר המשיק למעגל בנקודה אחת בלבד).
א.הוכיחו כי PA=PB.
5 נק׳ב.חשבו את אורך PA (אורך כל אחד ממסלולי הטיול).
5 נק׳ג.סמנו ב-θ את הזווית ∠OPA. חשבו את sinθ ואת cosθ, ולאחר מכן — בעזרת נוסחאות הכפל הכפול ובעזרת העובדה ש-OP חוצה את הזווית ∠APB (בשל הסימטריה שהוכחה בסעיף א') — חשבו את sin(∠APB) ואת cos(∠APB).
6 נק׳ד.חשבו את שטח המרובע OAPB (הנוצר מהרדיוסים OA, OB ומקטעי המשיקים PA, PB).
6 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.