שאלון 35571פרק ב' — אינדוקצייה, סדרות והסתברות22 נקודות · מאתגרת
טכנאי מכייל מכונה חדשה במפעל. בכל ניסיון כיול, ההסתברות שהניסיון יצליח היא p=2/5, בלתי תלויה בתוצאות הניסיונות הקודמים. הטכנאי ממשיך לנסות שוב ושוב עד לכיול המוצלח הראשון.
א.הוכיחו כי לכל k טבעי, ההסתברות שהכיול המוצלח הראשון יתרחש בדיוק בניסיון ה-k נתונה על ידי הנוסחה P(X=k) = (1−p) בחזקת (k−1)·p.
5 נק׳ב.חשבו את ההסתברות שהכיול המוצלח הראשון יתרחש בדיוק בניסיון השלישי (k=3).
5 נק׳ג.הוכיחו כי ההסתברות שיידרשו יותר מ-k ניסיונות עד לכיול המוצלח הראשון (כלומר, שכל k הניסיונות הראשונים נכשלים) נתונה על ידי P(X>k) = (1−p)ᵏ.
5 נק׳ד.חשבו את ההסתברות שיידרשו יותר מ-4 ניסיונות עד לכיול המוצלח הראשון.
4 נק׳ה.באמצעות התוצאה מסעיף ד', חשבו את ההסתברות שהכיול המוצלח הראשון יתרחש תוך 4 הניסיונות הראשונים לכל היותר (כלומר, P(X≤4)).
3 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.