שאלון 35571פרק ג' — גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור22 נקודות · ברמת הבחינה
במגרש בצורת משולש ABC, אורך הצלע AB (מסומן c) הוא k מטר, ואורך הצלע AC (מסומן b) הוא 2k מטר, כאשר k>0 פרמטר. הזווית בין הצלעות AB ו-AC (הזווית בקודקוד A) היא 60°. מהקודקוד A יוצא חוצה-זווית אל הצלע BC, הפוגע בה בנקודה D.
א.הוכיחו כי אורך חוצה הזווית AD מקיים תמיד את הנוסחה הכללית AD=2bc·cos(A/2)/(b+c), כאשר b=AC, c=AB, ו-A היא הזווית בקודקוד A (זאת עבור כל משולש ABC וחוצה זווית A מהקודקוד A, לא רק במקרה הפרטי הנתון כאן).
6 נק׳ב.הציבו b=2k, c=k ו-A=60° בנוסחה מסעיף א', ובטאו את AD באמצעות k בצורה הפשוטה ביותר.
5 נק׳ג.נתון כי AD=4√3. מצאו את ערך הפרמטר k.
5 נק׳ד.עבור הערך של k שמצאתם, חשבו את שטח המשולש ABC לפי הנוסחה S=(1/2)·AB·AC·sinA.
6 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.