שאלון 35571פרק ב' — אינדוקצייה, סדרות והסתברות22 נקודות · קלה יחסית
בגן ציבורי מתכננים לבנות ערוגת אבנים מדורגת בצורת פירמידה: בשורה ה-k (הנספרת מלמעלה למטה, כאשר k=1,2,3,...) מניחים בדיוק k² אבני ריצוף ריבועיות זהות בגודלן (בשורה הראשונה אבן אחת, בשורה השנייה 4 אבנים, בשורה השלישית 9 אבנים, וכן הלאה). הגנן טוען כי סך כל אבני הריצוף בערוגה בת n שורות (מהשורה הראשונה ועד השורה ה-n) נתון תמיד על ידי הנוסחה: 1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6.
א.הוכיחו את בסיס האינדוקציה: הראו כי הטענה מתקיימת עבור n=1.
4 נק׳ב.נסחו את הנחת האינדוקציה עבור n=k, וקבעו במפורש מה יש להוכיח עבור n=k+1 כדי להשלים את צעד האינדוקציה.
4 נק׳ג.הוכיחו את צעד האינדוקציה: בהתבסס על הנחת האינדוקציה מסעיף ב', הראו כי 1²+2²+...+k²+(k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6.
9 נק׳ד.בהתבסס על הנוסחה שהוכחתם, חשבו כמה אבני ריצוף בסך הכול יידרשו לערוגה בת 10 שורות (n=10).
5 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.