שאלון 35571פרק ג' — גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור22 נקודות · מאתגרת
בעל קרקע מתכנן לגדר חלקת אדמה משולשת ABC. ידועה הזווית A=60°, אורך הצלע AB=7 מ' (הצלע c, מול הזווית C), ואורך הצלע BC=√39 מ' (הצלע a, מול הזווית A). אורך הצלע AC (הצלע b, מול הזווית B) אינו ידוע.
א.באמצעות משפט הקוסינוסים, הוכיחו כי b מקיים את המשוואה הריבועית b²−7b+10=0.
6 נק׳ב.פתרו את המשוואה הריבועית שמצאתם בסעיף א', ומצאו את שני הערכים האפשריים של b.
5 נק׳ג.עבור כל אחד משני הערכים של b, חשבו — באמצעות משפט הסינוסים — את sinB (הזווית מול הצלע b), ואמתו כי בשני המקרים מתקבל ערך תקין (0<sinB≤1). מה מלמדת עובדה זו על מספר המשולשים התקפים במצב הנתון (צלע-צלע-זווית לא כלואה)?
6 נק׳ד.בהינתן הפתרון b=5 (המשולש הגדול יותר מבין השניים), חשבו את שטח המשולש ABC.
5 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.