שאלון 35571פרק ב' — אינדוקצייה, סדרות והסתברות22 נקודות · ברמת הבחינה
מנהל השקעות טוען כי לכל מספר ממשי x המקיים x>−1, ולכל n טבעי, מתקיים אי-השוויון (1+x)ⁿ ≥ 1+nx (אי-שוויון ברנולי) — אי-שוויון המשמש להערכת גבול תחתון לתשואה מצטברת בהשקעה שבה כל תקופה מניבה תשואה קבועה במונח היחס x (למשל x=0.05 עבור תשואה של 5% לתקופה).
א.הוכיחו את בסיס האינדוקציה: הראו כי אי-השוויון (1+x)ⁿ ≥ 1+nx מתקיים עבור n=1, לכל x>−1.
4 נק׳ב.נסחו את הנחת האינדוקציה עבור n=k, וקבעו במפורש מה יש להוכיח עבור n=k+1 כדי להשלים את צעד האינדוקציה.
4 נק׳ג.הוכיחו את צעד האינדוקציה: בהתבסס על הנחת האינדוקציה מסעיף ב', הראו כי (1+x) בחזקת (k+1) ≥ 1+(k+1)x. (הדרכה: הכפילו את שני אגפי הנחת האינדוקציה ב-(1+x), והסבירו מדוע פעולה זו אינה הופכת את כיוון אי-השוויון.)
9 נק׳ד.השקעה מניבה תשואה קבועה של x=0.05 (5%) בכל תקופה, במשך n=10 תקופות. באמצעות אי-שוויון ברנולי שהוכחתם — ומבלי לחשב את הערך המדויק של (1.05) בחזקת 10 — הוכיחו כי התשואה המצטברת (1.05) בחזקת 10 גדולה או שווה ל-1.5, כלומר שההשקעה גדלה פי 1.5 לפחות.
5 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.