שאלון 35472פרק ב' — חדו"א של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · מאתגרת
מהנדסת בקרה בוחנת מודל מתמטי לרמת יעילות אנרגטית של מערכת קירור תעשייתית, המתוארת על ידי הפונקציה f(x) = x²·ln x, כאשר x קצב זרימת אוויר יחסי במערכת (יחידות מתאימות, x>0).
א.מהו תחום ההגדרה של f(x)=x²·ln x?
4 נק׳ב.מצאו את f'(x), תוך שימוש בכלל המכפלה.
7 נק׳ג.מצאו את נקודת הקיצון של f (השתמשו בעובדה כי x>0 בתחום ההגדרה), קבעו אם היא נקודת מינימום או מקסימום, ומצאו את ערכה המדויק.
8 נק׳ד.ניתן להניח בלי הוכחה כי xⁿ·ln x → 0 כאשר x→0⁺, לכל n חיובי קבוע (כולל n=2). מצאו את הגבול של f(x) כאשר x→0⁺, וקבעו האם ניתן להרחיב את הפונקציה ברציפות לנקודה x=0 (כלומר, להגדיר ערך f(0) כך שהפונקציה המורחבת תהיה רציפה שם).
6 נק׳ה.טכנאי טוען שאם מגדירים f(0)=0 (כפי שנמצא בסעיף ד'), אזי לפונקציה המורחבת יש שתי נקודות מינימום — אחת ב-x=0 ואחת ב-x=1/√e (מסעיף ג'). האם צדק? נמקו באמצעות התנהגות f מיד לאחר x=0 (עולה או יורדת?), ובאמצעות השוואת הערכים f(0)=0 ו-f(1/√e)=−1/(2e).
8 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.