שאלון 35472פרק ב' — חדו"א של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · ברמת הבחינה
חברת שיווק דיגיטלי בוחנת את עקומת האפקטיביות המצטברת של קמפיין פרסומי חדש, המתוארת על ידי הפונקציה f(x) = ln x, כאשר x מספר הימים היחסי מאז השקת הקמפיין (x≥1, כך ש-x=1 מייצג את יום ההשקה עצמו). האנליסטית מגדירה את "האפקט המצטבר" עד יום כלשהו x=c (כאשר c>1) כשטח הכלוא בין גרף f לבין ציר ה-x, בתחום 1≤x≤c.
א.הסבירו מדוע f(x)=ln x מקיימת f(x)≥0 לכל x בתחום 1≤x≤c (כאשר c>1), ומדוע עובדה זו מאפשרת לחשב את השטח (האפקט המצטבר) ישירות באמצעות האינטגרל ∫₁ᶜ ln x dx, בלי ערך מוחלט.
4 נק׳ב.ניתן להיעזר בעובדה שהפונקציה F(x)=x·ln x − x היא פונקציה קדומה של f(x)=ln x (וודאו זאת בקצרה על ידי גזירת F). באמצעות F, בטאו את השטח S(c) (האפקט המצטבר עד יום c) כפונקציה מפורשת של c.
8 נק׳ג.הוכיחו כי S(c) פונקציה עולה ממש עבור c>1 (רמז: אפשר להשתמש בכלל היסודי של החדו"א, S'(c)=f(c)=ln c, או לגזור ישירות את הביטוי המפורש מסעיף ב'). מה המשמעות המעשית של עלייה זו, במונחי הקמפיין הפרסומי?
6 נק׳ד.ידוע כי ביום מסוים c (c>1) האפקט המצטבר מגיע לערך S(c) = 2e³+1. הראו כי c=e³ מקיים את המשוואה הזו, והסבירו (בעזרת תוצאת סעיף ג') מדוע זהו הפתרון היחיד.
8 נק׳ה.יועץ שיווקי טוען שאם משך הקמפיין יוכפל (מ-c=e³ ל-c=2e³), גם האפקט המצטבר S(c) יוכפל בדיוק (כלומר S(2e³)=2·S(e³)). האם צדק? חשבו את S(2e³) והשוו ל-2·S(e³) כדי להכריע.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.