שאלון 35472פרק א' — סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה33 נקודות · ברמת הבחינה
מעבדת מחקר עוקבת אחרי שני זני חיידקים במקביל, כתלות בזמן t (בשעות, t≥0): זן A מוזרק בכמות קטנה יחסית וגדל ללא הפרעה לפי המודל A(t) = 40·eᵗ (באלפי תאים), ואילו זן B מוזרק בכמות גדולה יחסית אך נתון לטיפול אנטיביוטי הגורם לו לדעוך לפי המודל B(t) = 640·e⁻ᵗ (באלפי תאים).
א.חשבו את A(0) ואת B(0), והשוו ביניהם. פי כמה זן B גדול מזן A בתחילת המעקב (t=0)?
5 נק׳ב.מצאו את הזמן t (בשעות) שבו שני הזנים שווים בגודלם, כלומר פתרו A(t)=B(t). השתמשו בלוגריתם טבעי, והשאירו את התשובה כביטוי מדויק.
8 נק׳ג.הגדירו את פונקציית היחס R(t)=A(t)/B(t), בטאו אותה בצורה מפושטת, והוכיחו כי R עולה ממש עבור t≥0. הסיקו מכך, ללא חישוב נוסף, מהו סימן ההפרש A(t)−B(t) עבור t קטן מ-2ln2, ועבור t גדול מ-2ln2.
7 נק׳ד.מצאו את השעה השלמה הראשונה (n טבעי) שבה זן A גדול מזן B, על ידי בדיקה ישירה בעזרת הקירוב e≈2.718.
6 נק׳ה.חוקרת טוענת שההפרש A(t)−B(t) מתייצב (שואף לגבול סופי קבוע) ככל ש-t גדל ללא גבול. האם צדקה? נמקו באמצעות בחינת ההתנהגות של A(t) ושל B(t) בנפרד כאשר t→∞.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.