שאלון 35472פרק ב' — חדו"א של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · ברמת הבחינה
במעבדת מחקר עוקבים אחר גידול שני סוגי חיידקים, כתלות בזמן x (בשעות, x≥0): אוכלוסיית סוג A גדלה לפי P₁(x)=e²ˣ, ואוכלוסיית סוג B גדלה לפי P₂(x)=eˣ (שתי האוכלוסיות מנורמלות כך שבזמן x=0 גודלן זהה).
א.הראו כי בתחום x≥0 מתקיים e²ˣ ≥ eˣ (כלומר אוכלוסיית סוג A גדולה או שווה תמיד לאוכלוסיית סוג B), באמצעות הצבה e²ˣ−eˣ=eˣ(eˣ−1) ובדיקת סימן הביטוי בתחום זה.
5 נק׳ב.מצאו פונקציה קדומה F(x) לפונקציה f(x)=e²ˣ−eˣ (ההפרש בין האוכלוסיות).
5 נק׳ג.מצאו את ערך x שעבורו אוכלוסיית סוג A מגיעה לראשונה לפי 4 מגודלה ההתחלתי (כלומר e²ˣ=4), והשאירו את התשובה כביטוי מדויק עם ln.
6 נק׳ד.חשבו את הערך המדויק של השטח הכלוא בין גרפי הפונקציות e²ˣ ו-eˣ, בתחום 0≤x≤ln2 (התחום שמצאתם בסעיף ג').
8 נק׳ה.חוקרת טוענת ששטח האזור שחישבתם בסעיף ד' שווה בדיוק להפרש בין גודלי האוכלוסיות בזמן x=ln2, כלומר P₁(ln2)−P₂(ln2). האם צדקה? נמקו באמצעות חישוב P₁(ln2)−P₂(ln2) והשוואתו לתוצאת סעיף ד'.
9 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.