שאלון 35472פרק ב' — חדו"א של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · קלה יחסית
כוס קפה חמה מוגשת בבית קפה, ומתקררת בהדרגה עד שהיא מתקרבת לטמפרטורת החדר. הטמפרטורה שלה (במעלות צלזיוס), t דקות לאחר ההגשה, מתוארת על ידי המודל f(t) = A + B·e בחזקת (−kt), כאשר A, B, k קבועים חיוביים. ידוע כי טמפרטורת ההגשה ההתחלתית היא f(0)=90°C, כי טמפרטורת החדר (שאליה הטמפרטורה מתקרבת בטווח הארוך) היא 20°C, וכי כעבור 10 דקות הטמפרטורה יורדת ל-55°C.
א.הסבירו מדוע, ככל ש-t גדל ללא גבול (t→∞), הביטוי e בחזקת (−kt) שואף ל-0 (בהנחה ש-k>0), ומדוע לכן A שווה בהכרח לטמפרטורת החדר הנתונה. מצאו את A.
5 נק׳ב.השתמשו בנתון f(0)=90 כדי למצוא את B.
5 נק׳ג.השתמשו בנתון שכעבור 10 דקות הטמפרטורה היא 55°C כדי למצוא את k. הציבו, בודדו את הביטוי המעריכי, והשתמשו בלוגריתם טבעי כדי להביע את k בצורה מדויקת.
8 נק׳ד.מצאו את טמפרטורת הקפה בדיוק כעבור 20 דקות (t=20), תוך ניצול העובדה ש-20 דקות הן פי 2 מ-10 דקות (כדי להימנע מהצבה מסובכת מחדש).
7 נק׳ה.האם, לפי המודל המתמטי הזה, הקפה יגיע אי-פעם בדיוק לטמפרטורת החדר (20°C בדיוק)? נמקו מתמטית, והסבירו מה המשמעות הפיזיקלית של הגבול A=20 שמצאתם בסעיף א'.
8 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.