שאלון 35472פרק א' — סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה33 נקודות · מאתגרת
בבניין משרדים ממוקם פיר אוורור מלבני בצורת תיבה ABCD-EFGH. הפיר ממוקם במערכת צירים כך ש-A נמצא בראשית הצירים, הצלע AB (רוחב הפיר, לאורך ציר x) אורכה 4 מטרים, הצלע AD (עומק הפיר, לאורך ציר y) אורכה 3 מטרים, והצלע AE (גובה הפיר, לאורך ציר z) אורכה 12 מטרים. כרגיל, B, C, D הם קודקודי בסיס הפיר יחד עם A, ו-E, F, G, H הם הקודקודים המתאימים בתקרת הפיר (E מעל A, F מעל B, G מעל C, H מעל D).
א.רשמו את הווקטורים AB, AD, AE כווקטורי קואורדינטות. מצאו את הווקטור AG (אלכסון הפיר, מ-A לקודקוד הנגדי G בתקרה) ואת הווקטור AC (אלכסון בסיס הפיר, מ-A ל-C) כסכומי וקטורי הצלעות.
6 נק׳ב.מצאו את אורכי האלכסונים |AG| ו-|AC|.
5 נק׳ג.חשבו, רכיב-רכיב, את המכפלה הסקלרית AG·AC, ומצאו את הקוסינוס של הזווית θ הנוצרת בין אלכסון הפיר AG לבין אלכסון הבסיס AC.
7 נק׳ד.מצאו את sinθ (ללא חישוב הזווית במעלות), ובעזרתו חשבו את שטח המשולש AGC (שקודקודיו A, G, C), לפי הנוסחה שטח = ½·|AG|·|AC|·sinθ.
7 נק׳ה.מהנדס בודק פיר כללי, שבו AB=p ו-AD=k (p,k>0 כלשהם), עם גובה AE כלשהו (לא בהכרח 12). הוכיחו כי, ללא קשר לגובה הפיר AE, הזווית בין אלכסון הפיר AG לבין אלכסון הבסיס AC לעולם אינה ישרה (כלומר AG אינו יכול להיות מאונך ל-AC).
8 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.