שאלון 35472פרק א' — סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה33 נקודות · ברמת הבחינה
כדור גומי מיוחד הוטל מגובה 9 מטרים אל הרצפה. בכל פעם שהכדור פוגע ברצפה, הוא מזנק מחדש לגובה השווה לשליש (1/3) מהגובה שממנו נפל לפני הפגיעה. תהליך הנפילה-והקפיצה נמשך (תיאורטית) ללא הפרעה, כלומר הכדור ממשיך לקפוץ אינסוף פעמים, כשגובה הקפיצות הולך וקטן.
א.רשמו את שלושת האיברים הראשונים של סדרת גבהי הקפיצות: h₁, h₂, h₃ (הגובה שאליו מגיע הכדור אחרי הקפיצה הראשונה, השנייה והשלישית), ומצאו נוסחה לאיבר הכללי hₙ.
5 נק׳ב.מצאו את גובה הקפיצה החמישית, h₅.
5 נק׳ג.מצאו את המרחק הכולל (התיאורטי) שיעבור הכדור אם התהליך יימשך ללא הפרעה לאורך אינסוף קפיצות. השתמשו בנוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית.
9 נק׳ד.עובד במפעל טוען: "מכיוון שהכדור מבצע (תיאורטית) אינסוף קפיצות, המרחק הכולל שהוא עובר הוא בהכרח אינסופי." האם צודק? נמקו על סמך התוצאה בסעיף ג'.
6 נק׳ה.החל מאיזו קפיצה (המספר הטבעי n הקטן ביותר) גובה הקפיצה hₙ יורד לראשונה מתחת ל-1 סנטימטר (0.01 מטר)? מצאו את n בעזרת בדיקת חזקות של 3, בלי להשתמש בלוגריתם.
8 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.