שאלון 35472פרק ב' — חדו"א של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · ברמת הבחינה
מהנדסת עלויות בוחנת פער בין עלות אמיתית לעלות מקורבת (ליניארית) של תהליך ייצור, המתואר על ידי הפונקציה f(x) = eˣ − x − 1, כאשר x פרמטר תפעולי (יכול לקבל כל ערך ממשי). המהנדסת מעוניינת לבדוק האם ייתכן שהפער f(x) יהיה שלילי אי-פעם.
א.מצאו את f'(x), ופתרו את המשוואה f'(x)=0 כדי למצוא את נקודת החשד לקיצון של f.
5 נק׳ב.קבעו את סימן f'(x) עבור x<0 ועבור x>0, וקבעו האם x=0 היא נקודת מינימום או מקסימום.
7 נק׳ג.חשבו את f(0), והסבירו מדוע התוצאה f(0)=0 יחד עם ההתנהגות שמצאתם בסעיף ב' מוכיחה כי f(x)≥0 לכל x ממשי.
8 נק׳ד.השתמשו באי-השוויון שהוכחתם בסעיף ג' (eˣ≥x+1 לכל x) כדי להוכיח כי מתקיים eˣ>x ממש (אי-שוויון חזק) לכל x ממשי.
6 נק׳ה.תלמיד טוען: "יכול להיות שכאשר x שואף למינוס אינסוף, ערכי f(x) יורדים ללא הפרעה וחוצים את האפס בשלב כלשהו, כך שבפועל f כן מקבלת ערכים שליליים רחוק מספיק שמאלה." האם צדק? נמקו באמצעות בחינת ההתנהגות של f(x) כאשר x שואף למינוס אינסוף.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.