שאלון 35472פרק א' — סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה33 נקודות · ברמת הבחינה
מעבדת מחקר עוקבת אחרי גידול תרבית חיידקים. בתחילת המעקב (t=0, כאשר t נמדד בשעות) נספרו N₀=200 חיידקים. ידוע כי גודל האוכלוסייה מכפיל את עצמו (גדל פי 2) בכל 5 שעות, וכי הגידול מתואר על ידי המודל המעריכי N(t) = N₀·qᵗ.
א.באמצעות עובדת ההכפלה כל 5 שעות (בלי לחשב עדיין את q), מצאו את N(5), N(10) ו-N(15).
5 נק׳ב.מצאו את מנת הגידול q במודל N(t)=N₀·qᵗ (t בשעות), והשאירו את התשובה בצורה מדויקת (לא מקורבת).
6 נק׳ג.השתמשו בערך q שמצאתם בסעיף ב' כדי לחשב את N(15) לפי הנוסחה N(t)=N₀·qᵗ, והראו שהתוצאה תואמת את זו שמצאתם בסעיף א'.
5 נק׳ד.מצאו, בעזרת לוגריתם טבעי (ln), את הזמן המדויק (בשעות, כביטוי עם ln) שבו האוכלוסייה מגיעה לראשונה לפי שלוש מגודלה ההתחלתי (3N₀). לאחר מכן, בעזרת הקירובים ln2≈0.693 ו-ln3≈1.099, מצאו את מספר השעות השלמות הראשון שבו האוכלוסייה כבר משולשת (עגלו כלפי מעלה).
8 נק׳ה.תלמיד טוען שזמן ההכפלה של האוכלוסייה (5 שעות) הוא תמיד קבוע, בלי קשר לזמן שממנו מתחילים למדוד — כלומר, לא משנה מהו t₀, יידרשו תמיד עוד בדיוק 5 שעות כדי שהאוכלוסייה תוכפל. האם צודק? הוכיחו באופן כללי (לכל t₀), באמצעות הנוסחה N(t)=N₀·qᵗ וחוקי חזקות.
9 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.