שאלון 35472פרק ב' — חדו"א של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · קלה יחסית
ריכוז תרופה בזרם הדם של מטופל, x שעות לאחר נטילתה, מתואר על ידי הפונקציה f(x) = e⁻ˣ (ריכוז ביחידות יחסיות). רוקחת קלינית מעוניינת לחשב שטחים הקשורים לגרף הפונקציה בשעתיים הראשונות שלאחר הנטילה.
א.מהו תחום ההגדרה של f(x)=e⁻ˣ? הראו כי f(x)>0 לכל x (עובדה שתאפשר לחשב שטחים ישירות, בלי ערך מוחלט).
5 נק׳ב.בדקו כי הפונקציה F(x) = −e⁻ˣ היא פונקציה קדומה של f(x)=e⁻ˣ, על ידי גזירת F(x).
6 נק׳ג.חשבו את הערך המדויק של השטח הכלוא בין גרף f(x)=e⁻ˣ לבין ציר ה-x, בתחום 0≤x≤2.
8 נק׳ד.מצאו את הערך המדויק של השטח הכלוא בין גרף f(x)=e⁻ˣ לבין הישר האופקי y=e⁻² (גובה הגרף בנקודה x=2), בתחום 0≤x≤2. רמז: בתחום זה f(x)≥e⁻² תמיד, כי f יורדת ומגיעה לערך e⁻² בדיוק ב-x=2.
7 נק׳ה.הוכיחו אלגברית (ללא הצבת ערכים מספריים מקורבים) כי השטח שחישבתם בסעיף ג' שווה בדיוק לסכום של השטח שחישבתם בסעיף ד' ושל שטח המלבן שגובהו e⁻² ורוחבו 2 (התחום [0,2]). הסבירו בקצרה את המשמעות הגאומטרית של זהות זו.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.