שאלון 35472פרק ב' — חדו"א של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · מאתגרת
נתונה הפונקציה f(x) = ln(x), המתארת עוצמת אות (ביחידות מתאימות) כפונקציה של מרחק x מנקודת השידור. חוקרת מעוניינת לחשב את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין ציר ה-x בתחום שבין x=1 ל-x=e.
א.קבעו את סימנה של f(x)=ln(x) בתחום 1≤x≤e, ונמקו מדוע ניתן לחשב את השטח המבוקש ישירות (בלי ערך מוחלט) באמצעות האינטגרל ∫₁ᵉ ln(x) dx.
4 נק׳ב.ניתן להניח שהפונקציה F(x)=x·ln(x)−x היא פונקציה קדומה אפשרית של f(x)=ln(x). וודאו זאת בעצמכם על ידי גזירת F(x) (תוך שימוש בכלל המכפלה על האיבר x·ln(x)), והראו שאכן F'(x)=ln(x).
7 נק׳ג.חשבו את הערך המדויק של השטח הכלוא בין הגרף של f(x)=ln(x) לבין ציר ה-x בתחום 1≤x≤e, באמצעות הפונקציה הקדומה מסעיף ב'.
8 נק׳ד.חשבו, באופן דומה, את הערך המדויק של השטח הכלוא בין f(x)=ln(x) לבין ציר ה-x בתחום 1≤x≤e² (במקום עד e).
7 נק׳ה.תלמיד טוען: "מכיוון שתחום האינטגרציה בסעיף ד' (עד e²) גדול פי 2 מזה שבסעיף ג' (עד e), גם השטח צריך להיות גדול פי 2 בדיוק — כלומר צריך לצאת 2." האם צדק? נמקו באמצעות התוצאות מסעיפים ג'-ד', והסבירו בקצרה מדוע השטח אינו גדל באופן פרופורציונלי לאורך התחום.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.