שאלון 35472פרק ב' — חדו"א של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות33 נקודות · ברמת הבחינה
יזם המפתח אפליקציה חדשה משווה בין שני מודלים לחיזוי מספר המשתמשים הפעילים (באלפים) כתלות בזמן x (בחודשים): מודל מעריכי P(x)=eˣ, ומודל ליניארי L(x)=2x+1. היזם טוען כי המודל המעריכי תמיד עולה על המודל הליניארי, כלומר eˣ>2x+1 לכל x.
א.חשבו את P(0) ואת L(0), והשוו ביניהם. מה ניתן ללמוד מכך על נכונות טענת היזם ("לכל x")?
5 נק׳ב.הגדירו h(x)=eˣ−(2x+1)=eˣ−2x−1 (הפרש בין המודלים). מצאו את h'(x), ומצאו את נקודת החשד לקיצון של h.
6 נק׳ג.הראו כי x=ln2 היא נקודת מינימום גלובלית של h (למשל, בעזרת חישוב h''(x)), וחשבו את h(ln2) בצורה מדויקת. מה ניתן להסיק על סימנה של h בסביבת נקודה זו?
8 נק׳ד.חשבו את h(1) ואת h(2) (השאירו בביטוי מדויק עם e), וקבעו את סימנן.
7 נק׳ה.בהתבסס על התוצאות מסעיפים א'-ד' (h(0)=0, h(1)<0, h(2)>0, ומינימום שלילי ב-x=ln2 שנמצא בין 0 ל-1), נסחו את התשובה המדויקת לשאלה: עבור אילו ערכי x טענת היזם (eˣ>2x+1) נכונה בפועל, ועבור אילו ערכים היא שגויה?
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.