שאלון 35472פרק א' — סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה33 נקודות · ברמת הבחינה
במפעל לאריזת מוצרי מזון התגלתה בבדיקת איכות סטייה ראשונית של 96 גרם ממשקל היעד באחת ממכונות המילוי. הצוות ההנדסי מפעיל תהליך תיקון אוטומטי: בכל מחזור כיול, המכונה מתקנת בדיוק מחצית מגודל הסטייה שנמדדה במחזור הקודם, אך תמיד בכיוון הפוך לסטייה הקודמת (אם הסטייה הייתה עודף משקל, התיקון הבא יוצר גירעון משקל, וכן הלאה לסירוגין). כך נוצרת סדרת הסטיות c₁, c₂, c₃,... (בגרמים; ערך חיובי מציין עודף משקל, ערך שלילי מציין גירעון משקל), כאשר c₁=96.
א.רשמו את ארבעת האיברים הראשונים של סדרת הסטיות c₁, c₂, c₃, c₄. הסבירו מדוע זוהי סדרה הנדסית, מצאו את מנתה q, ורשמו נוסחה לאיבר הכללי cₙ.
6 נק׳ב.מצאו נוסחה לסכום n הסטיות הראשונות Sₙ, וחשבו לפיה את סכום חמש הסטיות הראשונות S₅ (סכום הסטייה המצטברת לאחר 5 מחזורי כיול).
7 נק׳ג.בדקו האם מתקיים תנאי ההתכנסות של סכום סדרה הנדסית אינסופית (|q|<1), ואם כן — חשבו את סכום הסדרה ההנדסית האינסופית של הסטיות. מה מייצג ערך זה מבחינה מעשית (במונחי הסטייה המצטברת, אם התהליך היה נמשך לעד)?
7 נק׳ד.הוכיחו, באמצעות הנוסחה ל-Sₙ שמצאתם בסעיף ב', כי הסכומים החלקיים באינדקס אי-זוגי (S₁, S₃, S₅,...) תמיד גדולים מ-64, ואילו הסכומים החלקיים באינדקס זוגי (S₂, S₄,...) תמיד קטנים מ-64. הסבירו כיצד תוצאה זו מתיישבת עם ההתכנסות לגבול 64 שמצאתם בסעיף ג'.
7 נק׳ה.מהנדס במפעל טוען שמכיוון שהמנה q שלילית, לא ניתן להשתמש כלל בנוסחת הסכום האינסופי S=c₁/(1−q) (לטענתו, הנוסחה תקפה רק כאשר q חיובי). האם צדק? נמקו.
6 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.