שאלון 35472פרק א' — סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה33 נקודות · ברמת הבחינה
פלטפורמת מימון המונים מלווה קמפיין לפרויקט קהילתי. מספר התורמים החדשים שמצטרפים לקמפיין בכל יום מהווה סדרה הנדסית: ביום הראשון הצטרפו 5 תורמים חדשים, ובכל יום מצטרפים פי 2 תורמים חדשים לעומת היום הקודם. ידוע כי סך כל התורמים שהצטרפו מתחילת הקמפיין ועד יום מסוים (כולל אותו יום) הוא 315 תורמים.
א.רשמו את הנוסחה הכללית לאיבר ה-n (aₙ, מספר התורמים החדשים ביום ה-n) ואת נוסחת הסכום Sₙ (סך התורמים מהיום הראשון ועד היום ה-n), במונחי n.
5 נק׳ב.נתון כי Sₙ=315. הציבו בנוסחת הסכום, בודדו את הביטוי 2ⁿ, והשתמשו בלוגריתם טבעי (ln) כדי למצוא את n במדויק. ודאו שהתוצאה היא מספר טבעי.
8 נק׳ג.אמתו את התוצאה על ידי חישוב ישיר: רשמו את ששת האיברים הראשונים של הסדרה, וסכמו אותם ישירות.
6 נק׳ד.מצאו את המספר הטבעי הקטן ביותר n שעבורו סך התורמים Sₙ עובר לראשונה את ה-1,000, באמצעות אי-שוויון ולוגריתם, ואמתו את התשובה בבדיקה ישירה.
7 נק׳ה.מנהל הקמפיין טוען שכעבור 10 ימים (סה"כ) יצטרפו יותר מפי 30 מסך 315 התורמים המקוריים (כלומר S₁₀ > 30·315). האם צדק? נמקו באמצעות חישוב S₁₀.
7 נק׳חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.